A funkció és a differenciál kalkulus teljes vizsgálata

Miután átfogó ismereteket szereztünk a funkciók működtetésében, mielegendő eszközzel felfegyverkezve, amely lehetővé teszi egy speciálisan meghatározott matematikai szabályosság teljes körű tanulmányozását egy képlet (függvény) formájában. Természetesen a legegyszerűbb, de kifogástalanabb megoldás lehetne. Például adja meg az argumentum határait, válasszon ki egy intervallumot, kiszámolja a funkció értékeit, és rajzolja be a grafikont. Erős modern számítógépes rendszerekkel ez a probléma másodpercek alatt megoldódott. Azonban, hogy eltávolítsák az arzenáljukat, a matematika funkciójának teljes vizsgálata nem siet, mivel ezekkel a módszerekkel lehetőség van arra, hogy a hasonló rendszerek megoldása során értékeljék a számítógépes rendszerek működésének helyességét. A grafikon mechanikus felépítésével nem garantálhatjuk a fenti intervallum pontosságát az érv megválasztásában.

És csak miután elvégezték a funkció teljes körű vizsgálatát, biztos lehet benne, hogy a "magatartás" minden árnyalatát nem egy mintavételi időszakon belül, hanem az érv teljes tartományában veszik figyelembe.

Különféle feladatok megoldása aa fizika, a matematika és a technológia területén, meg kell vizsgálni a vizsgált jelenségben érintett változók közötti funkcionális kapcsolatot. Az utóbbi, amelyet analitikusan egy vagy több képletből állítunk elő, lehetővé teszi számunkra, hogy a matematikai analitika módszerével végezzenek kutatást.

Funkció teljes körű vizsgálata az, hogy megtudja és meghatározza azokat a területeket, amelyeken növekszik (csökken), ahol elérte a maximális (minimum) értéket és a grafikon egyéb jellemzőit is.

Vannak olyan rendszerek, amelyekkela funkció teljes körű vizsgálata megtörténik. Példák a matematikai kutatások listáira, amelyek csaknem azonos pillanatokat találnak. A megközelítő elemzési terv a következő tanulmányokat tartalmazza:

- keresse meg a funkciódefiníció domainjét, vizsgálja meg a saját határain belüli viselkedést;

- A diszkontinuitási pontokat egyoldalú korlátok alapján osztályozzuk;

- elvégezzük az aszimptoták meghatározását;

- találunk extremum pontokat és monotonikus időközöket;

- Meghatározzuk az inflexiós pontokat, a konkávság és a konvexitás intervallumait;

- a grafikon elkészítését a kutatás során elért eredmények alapján végezzük.

Ha csak néhány pontot vizsgálunkMeg kell jegyezni, hogy a differenciál kalkulus rendkívül sikeres eszköznek bizonyult a funkció vizsgálatához. A funkció viselkedése és származékai jellemzői között meglehetősen egyszerű összefüggések vannak. A probléma megoldásához elegendő az első és a második származék kiszámítása.

Tekintsük a csökkenés intervallumainak megállapításának sorrendjét, növelve a funkciót, és megkapják a monotonitás intervallumainak nevét is.

Ehhez elegendő az első jeleit meghatározniszármazékot egy bizonyos időközönként. Ha egy szegmensben folyamatosan nagyobb a nulla, akkor biztonságosan megítélhetjük a függvény monoton növekedését ebben a tartományban, és fordítva. Az első származék negatív értékei a funkciót monoton módon csökkennek.

A kiszámított származék felhasználásával meghatározzukA grafikon szakaszai, nevezik a konvexitásoknak és a függvény konkávságainak. Ezt bizonyítja, hogy ha a számítások során kapott származékot folyamatos és negatív, az azt jelzi, hogy a konvexitás folytonosságát a második derivált, és annak pozitív érték azt jelzi, hogy a konkáv grafikonon.

Megtalálja a pillanatot, amikor jel változika második származék vagy területek, ahol nem létezik, jelzi az inflexiós pont meghatározását. Ez a határ a konvexitás és a konkávság intervallumaival.

A funkció teljes vizsgálata nem ér végeta fenti pontok, de a differenciál kalkulus használata nagyban leegyszerűsíti ezt a folyamatot. Ebben az esetben az elemzés eredményei maximális megbízhatósági fokozattal rendelkeznek, ami lehetővé teszi egy olyan grafikon készítését, amely teljesen megfelel a vizsgált függvények tulajdonságainak.